问题
解答题
已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
（1）求数列{bn}的通项公式． （2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn＜n+
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答案
（1）∵bn=
．an+1 an-1
∴b1=
=3，a1+1 a1-1
∵an+1=
（an+1 2
），1 an
∴bn+1=
=(an+1+1 an+1-1
)2=an+1 an-1
＞0b 2n
∴bn=
=…=32n-1b 2n-1
（2）证明：当n≥2时，an+1-1=
≤an-1 32n-1+1
(an-1)1 10
（当且仅当n=2时取等号）且a2=
(a1+1 2
)=1 a1 5 4
故a3-1≤
(a2-1)，a4-1≤1 10
(a3-1)，…，an-1≤1 10
(an-1-1)1 10
以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤
[Sn-1-a1-(n-2)]1 10
∴10[Sn-a1-a2-（n-2）]≤Sn-1-a1-（n-2）
∴9Sn≤
+9n-25 2 32n-1+1 32n-1-1
∴Sn≤
+n-25 18
＜32n-1+1 9(32n-1-1)
+n-25 18
=1 9
+n＜23 18
+n24 18
∴Sn＜n+
．得证4 3