各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈

问题解答题

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

4Sn

n+3

•2n，求数列{b_n}的前n项和T．

答案

（1）∵a₁=1，对任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p

∴2a₁=2pa₁²+pa₁-p，即2=2p+p-p，解得p=1；

（2）2S_n=2a_n²+a_n-1，①

2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1，（n≥2），②

①-②即得（a_n-a_n-1-

）（a_n+a_n-1）=0，

因为a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1-

=0，

∴an=

n+1

（3）2S_n=2a_n²+a_n-1=2×

(n+1)2

n+1

-1，

∴S_n=

n2+3n

，

∴bn=

4Sn

n+3

•2n=n•2ⁿ

T_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ③

又2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n2ⁿ⁺¹④

④-③T_n=-1×2¹-（2²+2³+…+2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2