解；∵函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，

由f（x）=x²-bx求导得：f^′（x）=2x-b，

由导函数得几何含义得：f^′（1）=2-b=3⇒b=-1，∴f（x）=x²+x

所以f（n）=n（n+1），∴数列{

1

f(n)

}的通项为

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

所以

1

f(n)

的前n项的和即为T_n，

则利用裂项相消法可以得到：Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

  

所以数列的前2010项的和为：T₂₀₁₀=1-

1

2011

=

2010

2011

．

故答案选：B