（Ⅰ）∵S_n=n²+2n，…①

∴S_n-1=（n-1）²+2（n-1），n≥2． …②

①-②得 a_n=2n+1，n≥2．   …2分

∵a₁=S₁=3 满足上式，

∴a_n=2n+1，n∈N^*．   …4分

（Ⅱ）∵3T_n=nb_n+1，…③

∴3T_n-1=（n-1）b_n，n≥2． …④

③-④得 3b_n=nb_n+1-（n-1）b_n，即 

bn+1

bn

=

n+2

n

，n≥2．  …5分

∴

b3

b2

=

4

2

，

b4

b3

=

5

3

，

b5

b4

=

6

4

，…，

bn

bn-1

=

n+1

n-1

．

将以上各式连乘得

bn

b2

=

n(n+1)

6

，n≥2．  …7分

∵b₁=1，∴b₂=3．

∴bn=

n(n+1)

2

，n≥2． …8分

∵b₁=1满足上式，

∴bn=

n(n+1)

2

，n∈N^*． …9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 cn=n2cos

2nπ

3

，…10分

（1）当 n=3k （k∈N^*）时，

R_n=（c₁+c₂+c₃）+（c₄+c₅+c₆）+…+（c_3k-2+c_3k-1+c_3k）

=（-

12

2

-

22

2

+3²）+（-

42

2

-

52

2

+6²）+…+[-

(3k-2)2

2

-

(3k-1)2

2

+（3k）²]

=

13

2

+

31

2

+…+

18k-5

2

=

9k2+4k

2

=

3n2+4n

6

．

（2）当 n=3k-1（k∈N^*）时，

R_n=

9k2+4k

2

-c_3k=

-9k2+4k

2

=

-3n2-2n+1

6

．

（3）当 n=3k-2（k∈N^*）时，

R_n=

-9k2+4k

2

-c_3k-1=

-2k+1

2

=

-2n-1

6

．

综上，R_n=

3n2+4n 6 ，n=3k -3n2-2n+1 6 ，n=3k-1 -2n-1 6 ，n=3k-2

（k∈N^*） …14分．