问题
解答题
| 设数列{an}的首项a1=1，其前n项和Sn满足：3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（t＞0，n=2，3，…）． （Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列； （Ⅱ）记{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f(
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答案
（Ⅰ）由S1=a1=1，S2=1+a2，得3t（1+a2）-（2t+3）=3t，∴a2=
=2t+3 3t a2 a1
又3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，3tSn-1-（2t+3）Sn-2=3t（n=3，4，）两式相减，
得：3tan-（2t+3）an-1=0，
∴
=an an-1
（n=3，4，）2t+3 3t
综上，数列{an}为首项为1，公比为
的等比数列2t+3 3t
（Ⅱ）由f(t)=
=2t+3 3t
+2 3
，得bn=f(1 t
)=1 bn-1
+bn-1，2 3
所以{bn}是首项为1，，公差为
的等差数列，bn=2 3
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1=（b1-b3）b2+（b3-b5）b4+…+（b2n-1-b2n+1）b2n=-2n+1 3
(b2+b4+…+b2n)=-4 3
•4 3
(n 2
+5 3
)=-4n+1 3
(2n2+3n)4 9