（Ⅰ）-

1

an+1

=f(an) =-

4+ 1 an2

，且a_n＞0，

∴

1

an+1

=

4+ 1 an2

，

∴

1

an+12

-

1

an2

=4(n∈N+)，

∴数列{

1

an2

}是等差数列，首项

1

a12

公差d=4

∴

1

a12

=1+4(n-1)

∴an2=

1

4n-3

∵a_n＞0

∴an=

1

4n-3

(n∈N+)（4分）（6分）

（Ⅱ）由题设知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．

∴

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1．

设

Tn

4n-3

=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1．

∴{c_n}是等差数列．

∴c_n=c₁+n-1=

T1

1

+n-1=b₁+n-1=n．

∴

Tn

4n-3

=T 1+n -1，若{b_n}为等差数列，则T₁=1，即b=1，

即T_n=n（4n-3）=4n²-3n．

∴当n=1时，b_n=T₁=1；

当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7．

经验证n=1时也适合上式．

∴b_n=8n-7（n∈N^*）．

（III）证明：an=

1

4n-3

∴an=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

，

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＞

1

2

（

5

-1）+（

9

-

5

）+…+

1

2

（

4n+1

-

4n-3

）

=

1

2

4n+1

-1