f（1）=1

f（2）=1+

1

2

f（3）=1+

1

2

+

1

3

…

f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）

=n×1+

1

2

（n-1）+

1

3

（n-2）…

1

n

[n-（n-1）]

=n[1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

]-[

1

2

+

2

3

+

3

4

…

n-1

n

]

=nf（n）-[1-

1

2

+1-

1

3

+1-

1

4

…1-

1

n

]

=nf（n）-[（n-1）-f（n）+1]

=（n+1）f（n）-n

因为f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）

所以（n+1）f（n）=ng（n）f（n）

所以g（n）=

n+1

n

故答案为：存在，通项公式g(n)=

n+1

n