已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1，a3

问题解答题

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁，a₃，a₁₅成等比数列．

（1）求数列{a_n}的通项a_n

（2）b_n=20-a_n，T_n前n项和，求T_n的最值．

答案

（1）∵10S_n=a_n²+5a_n+6，①∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n-1=a_n-1²+5a_n-1+6（n≥2），②

由①-②得 10a_n=（a_n²-a_n-1²）+5（a_n-a_n-1），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0

∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=5 （n≥2）．

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73．a₁，a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3；

当a₁=2时，a₃=12，a₁₅=72，有 a₃²=a₁a₁₅，∴a₁=2，∴a_n=5n-3．

（2）∵b_n=20-a_n=23-5n

所以T_n=

n(18+23-5n)

n(41-5n)

-5

(n-

) 2+

1681

当n=4时，T_n取得最大值42．