问题
解答题
已知正项数列{ an }满足Sn+Sn-1=
(Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)记数列{
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答案
(Ⅰ)∵a1=1,由S2+S1=
+2,2 ta 2
得a2=
,∴a2=0(舍)或a2=2 ta 2
,1 t
Sn+Sn-1=
+2,①2 ta n
Sn-1+Sn-2=
+2 (n≥3)②2 ta n-1
①-②得an+an-1=t(
-2 a n
)(n≥3),2 a n-1
(an+an-1)[1-t(an-an-1)]=0,
由数列{ an }为正项数列,
∴an+an-1≠0,故an-an-1=
(n≥3),1 t
即数列{ an }从第二项开始是公差为
的等差数列.1 t
∴an=1n=1
n≥2n-1 t
(Ⅱ)证明:∵T1=1<2,当n≥2时,
Tn=t+
+t2 1×2
+t2 2×3
+…+t2 3×4 t2 (n-1)×n
=t+t2(1-
)1 n
=t+t2
.n-1 n
要使Tn<2,对所有的n∈N*恒成立,
只要Tn=t+t2
<t+t2≤2成立,n-1 n
∴0<t≤1.