（Ⅰ）∵a₁=1，由S₂+S₁=

2 ta 2

+2，

得a₂=

2 ta 2

，∴a₂=0（舍）或a₂=

1

t

，

S_n+S_n-1=

2 ta n

+2，①

S_n-1+S_n-2=

2 ta n-1

+2 （n≥3）②

①-②得a_n+a_n-1=t（

2 a n

-

2 a n-1

）（n≥3），

（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，

由数列{ a_n }为正项数列，

∴a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），

即数列{ a_n }从第二项开始是公差为

1

t

的等差数列．

∴a_n=

1n=1 n-1 t n≥2

（Ⅱ）证明：∵T₁=1＜2，当n≥2时，

T_n=t+

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t+t²（1-

1

n

）

=t+t²

n-1

n

．

要使T_n＜2，对所有的n∈N^*恒成立，

只要T_n=t+t²

n-1

n

＜t+t²≤2成立，

∴0＜t≤1．