（1）由an=

1

3

(an-1-an-2)得an-an-1=-

2

3

(an-1-an-2)（n≥3）

又a₂-a₁=1≠0，

∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1公比为-

2

3

的等比数列，an+1-an=(-

2

3

)n-1

a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）++（a_n-a_n-1）

=1+1+(-

2

3

)+(-

2

3

)2++(-

2

3

)n-2

=1+

1-(- 2 3 )n-1

1+ 2 3

=

8

5

-

3

5

(-

2

3

)n-1，

当n为奇数时当n为偶数时

由

-1≤b1+b2≤1 -1≤b2≤1 b2∈Z，b2≠0

得b₂=-1，

由

-1≤b2+b3≤1 -1≤b3≤1 b3∈Z，b3≠0

得b₃=1，

同理可得当n为偶数时，b_n=-1；当n为奇数时，b_n=1；

因此bn=

1，n为奇数 -1，n为偶数

．

（2）cn=nanbn=

8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1 - 8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1

S_n=c₁+c₂+c₃+c₄++c_n

当n为奇数时，Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

++

8

5

n)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3++n(

2

3

)n-1]=

4(n+1)

5

-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3++n(

2

3

)n-1]

当n为偶数时

Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

+-

8

5

n)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3++n(

2

3

)n-1]=-

4n

5

-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3++n(

2

3

)n-1]

令Tn=1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3++n(

2

3

)n-1①

①×

2

3

得：

2

3

Tn=1×(

2

3

)1+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+4×(

2

3

)4++n(

2

3

)n②

①-②得：

1

3

Tn=1+(

2

3

)1+(

2

3

)2+(

2

3

)3+(

2

3

)4++(

2

3

)n-1-n(

2

3

)n=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

-n(

2

3

)n=3-(3+n)(

2

3

)n

∴Tn=9-(9+3n)(

2

3

)n

当n为奇数时当n为偶数时

因此Sn=

4n-23 5 + 9(n+3) 5 ( 2 3 )n - 4n+27 5 + 9(n+3) 5 ( 2 3 )n