设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）求

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足cn=

log2(

n+1

)+3

(n∈N*)，T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式4mT_n＞c_n恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）当n=1时，a₁=4（1分）

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ⇒a_n=2a_n-1+2ⁿ（2分）

an-1

2n-1

+1，

∴{

}是首项为2，公差为1的等差数列（3分）

=2+n-1⇒an=(n+1)•2n（5分）

（2）cn=

n+3

，cn•cn+1=

n+3

•

n+4

n+3

n+4

（7分）Tn=

n+3

n+4

4(n+4)

（9分）

4mT_n＞c_n对一切n∈N^*恒成立，则m＞

(n+4)

n(n+3)

（11分）

而

n+4

n(n+3)

n+4

n2+3n

n+4

(n+4)2-5(n+4)+4

(n+4)+

n+4

-5

≤

（13分）

m＞

（14分）