问题
解答题
| 数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+an=-n（n∈N*）恒成立． （1）求数列{an}的通项公式； （2）bn=ln（an+1），求{anbn}的前n项和； （3）求证：
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答案
（1）∵Sn+an=-n①
∴n≥2时，Sn-1+an-1=-n+1②
①-②可得2an=an-1-1
∴2（an+1）=an-1+1
又a1=-
，∴{an+1}是以1 2
为首项，1 2
为公比的等比数列1 2
∴an+1=(
)n，∴an=(1 2
)n-1；1 2
（2）bn=ln（an+1）=nln
，∴anbn=[(1 2
)n-1]•nln1 2
，1 2
∴{anbn}的前n项和为ln
[1 2
+2•(1 2
)2+…+n•(1 2
)n]-1 2
•lnn(n+1) 2 1 2
令Tn=ln
[1 2
+2•(1 2
)2+…+n•(1 2
)n]，则1 2
Tn=ln1 2
[(1 2
)2+2•(1 2
)3+…+（n-1）•(1 2
)n+n•(1 2
)n+1]，1 2
两式相减，可得Tn=ln
（2-1 2
-1 2n-1
）n 2n
∴{anbn}的前n项和为ln
（2-1 2
-1 2n-1
）-n 2n
•lnn(n+1) 2
；1 2
（3）证明：由（1）知，
=-2（1 2nanan+1
-1
-11 2n
）1
-11 2n+1
∴
+1 2a1a2
+…+1 22a2a3
=-2（1 2nanan+1
-1
-11 21
+1
-11 22
-1
-11 22
+…+1
-11 3
-1
-11 2n
）1
-11 2n+1
=-2（
-1
-11 21
）＜21
-11 2n+1
∴
+1 2a1a2
+…+1 22a2a3
＜2．1 2nanan+1