问题
解答题
将数列{an}中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知: ①在数列{bn}中,b1=1,对于任何n∈N*,都有(n+1)bn+1-nbn=0; ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q(q>0)的等比数列;
③a66=
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k); (Ⅲ)若关于x的不等式S(k)+
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答案
(Ⅰ)由(n+1)bn+1-nbn=0,得数列{nbn}为常数列.故nbn=1•b1=1,所以bn=
. 1 n
(Ⅱ)∵3+4+…+11=63,
∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项,a66在表中第十行第三列.
故a66=b10•q2,而b10=
,∴q=2. 1 10
故S(k)=
=bk( 1-qk+2) 1-q
( 2k+2-1 ). 1 k
(Ⅲ)f(x)=
=1-x2 x
-x在x∈[1 x
, 1 200
]上单调递减,1 20
故f(x)的最小值是f(
)=20-1 20
. 1 20
若关于x的不等式S(k)+
>1 k
在x∈[1-x2 x
, 1 200
]上有解,1 20
设m(k)=S(k)+
=1 k
•2k+2,则必须m(k)>20-1 k
. 1 20
∵m(k+1)-m(k)=
•2k+3-1 k+1
•2k+2=1 k
≥0(或2k+2( k-1 ) k ( k+1 )
=m(k+1) m(k)
≥1)2k k+1
∴m(1)=m(2)=8,函数m(k)当k≥2且k∈N*时单调递增.
而m(4)=16,m(5)=
>20-128 5
,所以k的取值范围是大于4的一切正整数.1 20