问题 解答题
将数列{an}中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:记表中的第一列数a1,a4,a8,…构成的数列为{bn},已知:
①在数列{bn}中,b1=1,对于任何n∈N*,都有(n+1)bn+1-nbn=0;
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q(q>0)的等比数列;
a1   a2   a3
a4   a5   a6   a7
a8   a9   a10  a11  a12

a66=
2
5
.请解答以下问题:
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k);
(Ⅲ)若关于x的不等式S(k)+
1
k
1-x2
x
x∈[
1
200
 , 
1
20
]
上有解,求正整数k的取值范围.
答案

(Ⅰ)由(n+1)bn+1-nbn=0,得数列{nbn}为常数列.故nbn=1•b1=1,所以bn=

1
n
.      

(Ⅱ)∵3+4+…+11=63,

∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项,a66在表中第十行第三列.        

故a66=b10•q2,而b10=

1
10
,∴q=2.                           

S(k)=

bk( 1-qk+2)
1-q
=
1
k
2k+2-1 ).                           

(Ⅲ)f(x)=

1-x2
x
=
1
x
-x在x∈[
1
200
 , 
1
20
]
上单调递减,

故f(x)的最小值是f(

1
20
)=20-
1
20
.                                        

若关于x的不等式S(k)+

1
k
1-x2
x
x∈[
1
200
 , 
1
20
]
上有解,

m(k)=S(k)+

1
k
=
1
k
2k+2,则必须m(k)>20-
1
20
.             

m(k+1)-m(k)=

1
k+1
2k+3-
1
k
2k+2=
2k+2( k-1 )
k ( k+1 )
≥0(或
m(k+1)
m(k)
=
2k
k+1
≥1

∴m(1)=m(2)=8,函数m(k)当k≥2且k∈N*时单调递增.            

而m(4)=16,m(5)=

128
5
20-
1
20
,所以k的取值范围是大于4的一切正整数.

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