问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且点P（bn，bn+1）（n∈N*）在直线y=x+2上． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Dn； （Ⅲ）设cn=an•sin2
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答案
（Ⅰ）当n=1，a1=2…（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1…（2分）
∴an=2an-1（n≥2），∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1=2
∴an=2n…（3分）
又点P(bn，bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上，∴bn+1=bn+2，
∴{bn}是等差数列，公差为2，首项b1=1，∴bn=2n-1…（5分）
（Ⅱ）∵an•bn=(2n-1)×2n
∴Dn=1×21+3×22+5×23+7×24+…(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n①
2Dn=1×22+3×23+5×24+7×25+…(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Dn=1×21+2×22+2×23+2×24+…2×2n-(2n-1)×2n+1…（7分）
=2+2×
-(2n-1)×2n+1=2n+1(3-2n)-6…（8分）4(1-2n-1) 1-2
Dn=(2n-3)2n+1+6…（9分）
（Ⅲ）cn=
…（11分）2n，n为奇数 -(2n-1)，n为偶数
T2n=（a1+a3+…+a2n-1）-（b2+b4+…b2n）
=2+23+…+22n-1-[3+7+…+(4n-1)]=
-2n2-n…（13分）22n+1-2 3
