已知等比数列{an}的公比为q（q≠1）的等比数列，且a2011，a2013，a

问题解答题

已知等比数列{a_n}的公比为q（q≠1）的等比数列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差数列．

（Ⅰ）求公比q的值；

（Ⅱ）设{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由．

答案

（Ⅰ）由数列{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差数列，

所以2a₂₀₁₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，即2a2011q2=a2011+a2011q，

∵a₂₀₁₁≠0，∴2q²-q-1=0．

∴q=1或q=-

，

又q≠1，∴q=-

；

（Ⅱ）数列{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，

公差q=-

，则Sn=2n+

n(n-1)

•(-

-n2+9n

．

当n≥2时，Sn-bn=Sn-1=

-(n-1)2+9(n-1)

-n2+11n-10

(n-1)(n-10)

，

故对于n∈N^*，当2≤n≤9时，S_n＞b_n；

当n=10时，S_n=b_n；

当n≥11时，S_n＜b_n．