问题 解答题
已知数列{an}、{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
( II)求数列{
2n
bn
}
的前n项和Dn
( III)若数列{bn}的前n项和为Sn,设 Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn
答案

(Ⅰ)由bn=an-1得 an=bn+1代入 an-1=an(an+1-1),

得 bn=(bn+1)bn+1,整理得 bn-bn+1=bnbn+1.(2分)

∵bn≠0,否则 an=1,与 a1=2矛盾.

从而得 

1
bn+1
-
1
bn
=1,

∵b1=a1-1=1

∴数列 {

1
bn
}是首项为1,公差为1的等差数列.(4分)

1
bn
=n,即bn=
1
n
.(6分)

(II)

2n
bn
=n•2n

Dn=2+2•22+3•23+…+n•2n(1)

2Dn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1(2)(6分)

-Dn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)
1-2
-n•2n+1

Dn=(n-1)2n+1+2.(8分)

(III)∵Sn=1+

1
2
+
1
3
+…+
1
n

∴Tn=S2n-Sn=(1+

1
2
+
1
3
+…+
1
n
+
1
n+1
+
+
1
2n
)-(1+
1
2
+
1
3
+
+
1
n

=

1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
.(12分)

证法1:∵Tn+1-Tn=

1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+2
-
1
n+1
+
1
n+2
+
…+
1
2n

=

1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1

=

1
2n+1
-
1
2n+2
=
1
(2n+1)(2n+2)
>0

∴Tn+1>Tn.(14分)

证法2:∵2n+1<2n+2,

1
2n+1
1
2n+2

Tn+1-Tn

1
2n+2
+
1
2n+2
-
1
n+1
=0.

∴Tn+1>Tn.(12分)

综合题

(20分)国运兴衰,系于教育。阅读材料,回答问题。

材料一 一个青年跑进太学求学,毕业后被派到地方服务。待服务地方行政有了政绩,再经长官察选到中央,又须经过中央一番规定的考试,然后才始正式入仕。那是当时入仕从政的唯一正途,政府的一切官吏,几乎全由此项途径出身。这样的政府,我们再也不能叫它做贵族政府……我们只能叫它做读书人的政府,或称士人政府。                           

——摘编自钱穆《中国历史政治得失》

(1)材料一反映了当时怎样的选官制度?(1分)为什么“这样的政府,我们再也不能叫它做贵族政府”?(2分)

材料二  16一18 世纪初期英国牛津大学和剑桥大学增设教授席位的情况

(2)根据材料二的信息,概括英国牛津大学和剑桥大学从16世纪中期至18世纪初期新增课程的变化趋势,(2分)并分析导致这种变化的原因。(3分)

材料三 同文馆于同治元年(1861年)成立。馆学最初只有英文、法文……同文馆是成立了,但招不到学生,因为风气未开,无人肯入,大家以为学了洋文,便是降了外国。

——齐如山《齐如山回忆录》

(3)据材料三指出当时同文馆的处境(1分)并结合所学知识分析造成这种处境的社会背景。(4分)

材料四  2004年,广东教育出版社编写的语文新教材中特设了“走近经济”单元,收录了经济学家王则柯的《钱》、茅于轼的《市场经济中新的道德和法治》等文章。……在人教版小学语文教材中,有关外国选文有92篇,占所有课文的20%,内容涉及科学、人文、自然、风物等各个方面,而且,选文所涉及的国家以西方发达国家为主。

——以上材料均摘自中国新闻网《六十年语文书变迁》

(4)根据材料四,概括21世纪以来语文教材内容的主要变化。(3分)并分析导致其变化的经济条件。(4分)

单项选择题