问题
解答题
| 已知数列{an}、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （ II）求数列{
（ III）若数列{bn}的前n项和为Sn，设 Tn=S2n-Sn，求证：Tn+1＞Tn． |
答案
（Ⅰ）由bn=an-1得 an=bn+1代入 an-1=an（an+1-1），
得 bn=（bn+1）bn+1，整理得 bn-bn+1=bnbn+1．（2分）
∵bn≠0，否则 an=1，与 a1=2矛盾．
从而得
-1 bn+1
=1，1 bn
∵b1=a1-1=1
∴数列 {
}是首项为1，公差为1的等差数列．（4分）1 bn
∴
=n，即bn=1 bn
．（6分）1 n
（II）
=n•2n2n bn
∴Dn=2+2•22+3•23+…+n•2n（1）
∴2Dn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1（2）（6分）
-Dn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=
-n•2n+1，2(1-2n) 1-2
∴Dn=(n-1)2n+1+2．（8分）
（III）∵Sn=1+
+1 2
+…+1 3
，1 n
∴Tn=S2n-Sn=（1+
+1 2
+…+1 3
+1 n
+…+1 n+1
）-（1+1 2n
+1 2
+…+1 3
）1 n
=
+1 n+1
+…+1 n+2
．（12分）1 2n
证法1：∵Tn+1-Tn=
+1 n+2
+…+1 n+3
-（1 2n+2
+1 n+1
+…+1 n+2
）1 2n
=
+1 2n+1
-1 2n+2 1 n+1
=
-1 2n+1
=1 2n+2
＞01 (2n+1)(2n+2)
∴Tn+1＞Tn．（14分）
证法2：∵2n+1＜2n+2，
∴
＞1 2n+1
，1 2n+2
∴Tn+1-Tn＞
+1 2n+2
-1 2n+2
=0．1 n+1
∴Tn+1＞Tn．（12分）