问题
解答题
已知数列{an}的首项a1=2，其前n项和为Sn，当n≥2时，满足an-2n=Sn-1，又bn=
（I）证明：数列{bn}是等差数列； （II）求数列{Sn}的前n项和Tn． |
答案
（I）由题意知得，a1=2，a2-22=S1=a1=2，∴a2=6．
n≥2时，an-2n=Sn-1，an+1-2n+1=Sn，
两式相减得 an+1-an-2n=an
即 an+1=2an+2n （n≥2）
于是
=an+1 2n+1
+an 2n 1 2
即 bn+1-bn=
n≥21 2
又b1=
=1，b2=a1 2
=a2 22
，b2-b1=3 2
，1 2
所以数列{bn}是首项为1，公差为0.5的等差数列．
（II）由（I）知，bn=1+(n-1)×
=1 2
，n+1 2
an=bn2n=（n+1）2n-1，
又n≥2时an-2n=Sn-1，Sn-1=（n-1）2n-1，
∴Sn=n•2n
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，…①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1…②
②-①可得
Tn=2n+1-2-n×2n=（n-1）2n+1+2．