由a_n+1=a_n+n+1得，a_n+1-a_n=n+1，

则a₂-a₁=1+1，

a₃-a₂=2+1，

a₄-a₃=3+1，

…

a_n-a_n-1=（n-1）+1，

以上等式相加，得a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）+n-1，

把a₁=1代入上式得，a_n=1+2+3+…+（n-1）+n=

n(1+n)

2

，

∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）]

=2（1-

1

2014

）=

2013

1007

，

故选C．