（1）当n=1时，S₁+c₁=1，即2c₁=1，故c₁=

1

2

（1分）

当n≥2时，S_n+c_n=1，S_n-1+c_n-1=1，两式相减，得（S_n-S_n-1）+（c_n-c_n-1）=0，

即2c_n=c_n-1，

所以数列{c_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，

所以c_n=(

1

2

)n．（3分）

（2）因为a_n=

1

cn

，

所以a_n=2ⁿ．（4分）

若存在数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n一1）2ⁿ⁺¹+2对一切正整数n都成立，

则a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（2n一3）2ⁿ+2（n≥2），（6分）

两式相减，得a_nb_n=2ⁿ（2n+1）（n≥2），解得b_n=2n+1（n≥2）；

由a₁b₁=6，得b₁=3，符合上式，所以b_n=2n+1（n∈N^*）．

所以存在符合条件的数列{b_n}，其通项公式为b_n=2n+1（n∈N^*）．（8分）

（3）因为b_n•c_n=

2n+1

2n

，故数列{b_n•c_n}的前n项的和T_n=

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n+1

2n

，

所以

1

2

T_n=

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n+1

2n+1

，

所以T_n-

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

3

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

（11分）

故

1

2

T_n=

5

2

-

1

2n-1

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

，

所以T_n=5-

2n+5

2n

（13分）