问题
解答题
（文科做）数列{an}中，a3=1，Sn=an+1（n=1，2，3…）．
（I）求a1，a2；
（II）求数列{an}的前n项和Sn；
（III）设bn=log2Sn，存在数列{cn}使得cn•bn+3•bn+4=1，试求数列{cn}的前n项和．
答案
（I）∵a1=a2，a1+a2=a3，
∴2a1=a3=1，
∴a1=
，a2=1 2
．…2分1 2
（II）∵Sn=an+1=Sn+1-Sn，
∴2Sn=Sn+1，
=2，…6分Sn+1 Sn
∴{Sn}是首项为S1=a1=
，公比为2的等比数列．1 2
∴Sn=
•2n-1=2n-2．（n∈N*）．…9分1 2
（III）∵bn=log2Sn，Sn=2n-2，
∴bn=n-2，bn+3=n+1，bn+4=n+2，
∴cn•(n+1)(n+2)=1，cn=
=1 (n+1)(n+2)
-1 n+1
．…11分1 n+2
∴c1+c2+…+cn=(
-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 4
-1 n+1
)=1 n+2
-1 2
=1 n+2
．…14分n 2n+4