已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=ka2n+2（n≥2

问题解答题

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+S_n-1=k

+2（n≥2，n∈N*，k＞0），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

anan+1

}的前n项和为T_n，是否存在常数k，使得T_n＜2对所有的n∈N*都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵S_n+S_n-1=k

+2，∴S_n+1+S_n=k

2n+1

两式相减可得（a_n+1+a_n）[(an+1-an)-

]=0

∵正项数列{a_n}，

∴an+1-an=

（n≥2）

∵S₂+S₁=k

+2，a₁=1

∴a2=

∴a_n=

1，n=1

n-1

，n≥2

；

（2）由题意，T₁=k，

当n≥2时，Tn=k+

1×2

+…+

(n-1)n

=k+k2(1-

+…+

n-1

)=k+k2(1-

)

∵T_n=k+k2(1-

)＜k+k²

∴使得T_n＜2对所有的n∈N^*都成立，只需要k+k²≤2（k＞0），

∴0＜k≤1．