问题
解答题
已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{an}满足：a1=1，（k+1）ak+1=p（k-p）ak，其中k=1，2，3，…，p-1．
（I）设p=4，求a2，a3，a4；
（II）求a1+a2+a3+…+ap．
答案
（Ⅰ）由（k+1）ak+1=p（k-p）ak得
=p×ak+1 ak
，k=1，2，3，…，p-1k-p k+1
即
=-4×a2 a1
=-6，a2=-6a1=-6；4-1 2
=-4×a3 a2
=-4-2 3
，a3=16，8 3
=-4×a4 a3
=-1，a4=-16； （3分）4-3 4
（Ⅱ）由（k+1）ak+1=p（k-p）ak
得：
=p×ak+1 ak
，k=1，2，3，…，p-1k-p k+1
即
=-p×a2 a1
，p-1 2
=-p×a3 a2
，…，p-2 3
=-p×ak ak-1
，p-(k-1) k
以上各式相乘得
=(-p)k-1×ak a1
（5分）(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1) k!
∴ak=(-p)k-1×(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1) k!
=(-p)k-1×
=(p-1)! k!(p-k)!
×(-p)k-1 p p! k!(p-k)!
=-(-p)k-2×
=-C kp 1 p2
(-p)k，k=1，2，3，…，p （7分）C kp
∴a1+a2+a3+…+ap=-
[1 p2
(-p)1+C 1p
(-p)2+C 2p
(-p)3+…+C 3p
(-p)p]=-C pp
[(1-p)p-1] （10分）1 p2