问题
解答题
已知数列{an}的首项a1=
（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的x＞0，an≥
（Ⅲ）证明：a1+a2+…+an＞
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答案
（Ⅰ）∵an+1=
，∴3an 2an+1
=1 an+1
+2 3
，1 3an
∴
-1=1 an+1
(1 3
-1)，1 an
又
-1=1 an
，2 3
∴(
-1)是以1 an
为首项，2 3
为公比的等比数列．1 3
∴
-1=1 an
•2 3
=1 3n-1
，∴an=2 3n
．3n 3n+2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=
＞0，3n 3n+2
-1 1+x
(1 (1+x)2
-x)=2 3n
-1 1+x
(1 (1+x)2
+1-1-x)=2 3n
-1 1+x
[1 (1+x)2
-(1+x)]=-1 an
•1 an
+1 (1+x)2
=-2 1+x
(1 an
-an)2+an≤an，1 1+x
∴原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x＞0，有a1+a2++an≥
-1 1+x
(1 (1+x)2
-x)+2 3
-1 1+x
(1 (1+x)2
-x)++2 32
-1 1+x
(1 (1+x)2
-x)=2 3n
-n 1+x
(1 (1+x)2
+2 3
++2 32
-nx)．2 3n
∴取x=
(1 n
+2 3
++2 32
)=2 3n
=
(1-2 3
)1 3n n(1-
)1 3
(1-1 n
)，1 3n
则a1+a2++an≥
=n 1+
(1-1 n
)1 3n
＞n2 n+1- 1 3n
．∴原不等式成立．n2 n+1