问题
解答题
已知数列an满足an+1=|an-1|(n∈N*),(1)若a1=
(2)是否存在a1,n0(a1∈R,n0∈N*),使当n≥n0(n∈N*)时,an恒为常数.若存在求a1,n0,否则说明理由; (3)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求an的前3k项的和S3k(用k,a表示) |
答案
(1)a1=
,a2=5 4
,a3=1 4
,a4=3 4
,1 4
∴a1=
,n≥2时,5 4
an=
,其中k∈N*
,n=2k1 4
,n=2k+13 4
(2)因为存在an+1=|an-1|=
,an-1,an≥1 -an+1,an<1
所以当an≥1时,an+1≠an
①若0<a1<1,则a2=1-a1,a3=1-a2=a1,此时只需:a2=1-a1=a1,∴a1=1 2
故存在a1=
,an=1 2
,(n∈N*)1 2
②若a1=b≥1,不妨设b∈[m,m+1),m∈N*,易知am+1=b-m∈[0,1),
∴am+2=1-am+1=1-(b-m)=am+1=b-m
∴b=m+
,∴a1=m+1 2
,n≥m+1时,an=1 2
,(m∈N*)1 2
③若a1=c<0,不妨设c∈(-l,-l+1),l∈N*,易知a2=-c+1∈(l,l+1],
∴a3=a2-1=-c,,al+2=-c-(l-1)∈(0,1]
∴c=-l+
,∴a1=-l+1 2
(l∈N*),n≥l+2,则an=1 2 1 2
故存在三组a1和n0:a1=
时,n0=1;a1=m+1 2
时,n0=m+1;a1=-m+1 2
时,n0=m+2其中m∈N*1 2
(3)当a1=a∈(k,k+1)(k∈N*)时,
易知a2=a-1,a3=a-2,,ak=a-(k-1),
ak+1=a-k∈(0,1)ak+2=1-ak+1=k+1-a,
ak+3=1-ak+2=a-k,ak+4=1-ak+3=k+1-a,
a3k-1=a-k,a3k=k+1-a
∴S3k=a1+a2++ak+ak+1+ak+2+ak+3+ak+4++a3k-1+a3k=a+(a-1)+(a-2)++a-(k-1)+k-
+k(a+k2 2
)3 2