已知数列{an} 2an+1=an+an+2（n∈N*），它的前n项和为Sn且a

问题解答题

已知数列{a_n} 2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n项和为S_n 且a₅=5，S₇=28
（1）求数列{

}前n项的和T_n
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，b n+1=bn+qan(q＞0)求数列{b_n}的通项公式，并比较b_n•b_n+2，b n+12的大小．

答案

（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知{a_n}是等差数列，

∵a₅=5，S₇=28

∴a₁+4d=5，7a₁+21d=28

∴a₁=1，d=1，∴a_n=n…（3分），

∴Sn=

n(n+1)

，∴

n(n+1)

（

n+1

）

∴T_n=2[（1-

）+（

）+…+（

n+1

）]=2（1-

n+1

）=

n+1

．…（6分）

（2）∵bn+1-bn=qn，

∴当n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+q+…+qn-1=

n，q=1

1-qn

1-q

，q≠1

当n=1时，b₁=1满足上式，故bn=

n，q=1

1-qn

1-q

，q≠1

…（9分）．

当q=1时，bnbn+2-bn+12=n（n+2）-（n+1）²=-1＜0，…（10分）

当q≠1时，bnbn+2-bn+12=

1-qn

1-q

•

1-qn+2

1-q

1-qn+1

1-q

)2=-qⁿ＜0，

所以bnbn+2＜bn+12…（12分）