问题
解答题
设数列{an}（n∈N*）的前n项的和为Sn，满足a1=1，
（1）求证：Sn=（2-
（2）求数列{an}的通项公式． |
答案
（1）证明：数列{an}（n∈N*）的前n项的和为Sn，满足a1=1，
-Sn+1 an+1
=Sn an
（n∈N*）．1 2n
所以
-S2 a2
=S1 a1
，1 2
-S3 a3
=S2 a2
；1 4
-S4 a4
=S3 a3
；1 8
…
-Sn an
=Sn-1 an-1
；1 2n-1
将n-1个式子相加可得：
-Sn an
=S1 a1
+1 2
+ 1 22
+…+1 23
，1 2n-1
所以
=1+Sn an
+1 2
+1 22
+…+1 23
=1 2n-1
=2-1- 1 2n-1 1- 1 2
；1 2n-1
∴Sn=（2-
）an；1 2n-1
（2）因为Sn=（2-
）an；1 2n-1
所以Sn-1=（2-
）an-1；（n≥2）1 2n-2
所以an=（2-
）an-（2-1 2n-1
）an-1；可得1 2n-2
an =an-1，1 2
因为a2=2，当n=1时，满足数列{an}是等比数列公比为2．
所以an=2n-1．