问题
解答题
在数列{an}中，已知a1=
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{bn}是等差数列； （3）设数列{cn}满足cn=an•bn，求{cn}的前n项和Sn． |
答案
（1）∵
=an+1 an 1 4
∴数列{an}是首项为
，公比为1 4
的等比数列，1 4
∴an=(
)n(n∈N*)．（2分）1 4
（2）∵bn=3log
an-2（3分）1 4
∴bn=3log
(1 4
)n-2=3n-2．（4分）1 4
∴b1=1，公差d=3
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．（5分）
（3）由（1）知，an=(
)n，bn=3n-2(n∈N*)1 4
∴cn=(3n-2)×(
)n，(n∈N*)．（6分）1 4
∴Sn=1×
+4×(1 4
)2+7×(1 4
)3++(3n-5)×(1 4
)n-1+(3n-2)×(1 4
)n，1 4
于是
Sn=1×(1 4
)2+4×(1 4
)3+7×(1 4
)4++(3n-5)×(1 4
)n+(3n-2)×(1 4
)n+1（10分）1 4
两式相减得
Sn=3 4
+3[(1 4
)2+(1 4
)3++(1 4
)n]-(3n-2)×(1 4
)n+1=1 4
-(3n+2)×(1 2
)n+1．（12分）1 4
∴Sn=
-2 3
×(12n+8 3
)n+1(n∈N*)．（14分）1 4