问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-
（I）求证：
（II）求an及Sn； （III）求证：
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答案
（ I）Sn=2-
an(n∈N*)，（1）Sn+1=2-n+2 n
an+1，（2）（2分）n+3 n+1
（2）-（1），得an+1=
an-n+2 n
an+1，∴n+3 n+1
=an+1 an
．（3分）n+1 2n
（ II）当n=1时，a1=S1=2-
a1，a1=1+2 1
； （4分）1 2
由（ I），得an=a1•
•a2 a1
•a3 a2
•…•a4 a3
=an an-1
•1 2
•2 2×1
•3 2×2
•…•4 2×3
=n 2(n-1) n 2n
即an=
（7分）n 2n
将an=
代入Sn=2-n 2n
an(n∈N*)，得Sn=n+2 n
．（8分）2n+1-n-2 2n
（ III）由an=
，则即证(n 2n
)2+(1 2
)2+(2 22
)2+…+(3 23
)2＜n 2n 49 64
下证：当n≥4，n∈N*时，2n≥n2．
①当n=4时，24=42，成立；当n=5时，25＞52，成立； （9分）
②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时，成立，即2k≥k2，则
当n=k+1时，2k+1≥2k2，令f（k）=2k2-（k+1）2=k2-2k-1，k≥4，k∈N*，当k=4时有最小值7，故2k2＞（k+1）2，
∴2k+1≥（k+1）2，即n=k+1成立；
由①②得结论成立．（11分）
于是，(
)2＜k 2k
．1 2k
令k=4，5，6，…，n，各式相加，得(
)2+(4 24
)2+(5 25
)2+…+(6 26
)2＜n 2n
-1 8
，1 2n
又(
)2+(1 2
)2+(2 22
)2=3 23
，41 64
两式相加，得(
)2+(1 2
)2+(2 22
)2+…+(3 23
)2＜n 2n
-49 64
＜1 2n
．（12分）49 64