问题
解答题
已知数列{an}的通项公式为an=
（1）求Sn； （2）证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
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答案
（1）由已知得，a2n-1=
=n，a2n=22n-1+1 2
=2n，故bn=2n 2
=a2n-1 a2n
，…（2分）n 2n
Sn=b1+b2+…+bn=1×
+2×(1 2
)2+3×(1 2
)3+…+n•(1 2
)n…（3分）1 2
Sn=1×(1 2
)2+2×(1 2
)3+3×(1 2
)4+…+n•(1 2
)n+1…（4分）1 2
两式相减得，
Sn=1 2
+(1 2
)2+(1 2
)3+(1 2
)4+…+(1 2
)n-n•(1 2
)n+1=1-(1 2
)n-n(1 2
)n+1…（5分）1 2
化简得Sn=2-(n+2)(
)n．…（7分）1 2
（2）由（1）|Sn-2|=(n+2)(
)n，1 2
因而|Sn-2|＜
⇔(n+2)(1 n
)n＜1 2
⇔n（n+2）＜2n1 n
问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2n，…（9分）
采用数学归纳法．
①当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2n=26=64，48＜64，
此时不等式成立，…（10分）
②假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2k，…（11分）
那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k（k+2）=2k2+4k=k2+4k+k2
＞k2+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）（k+1）+2
这说明，当n=k+1时不等式也成立…（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2n，成立，原命题得证．…（14分）