根据题意，3a_n+1+a_n=4，化简可得3（a_n+1-1）=-（a_n-1）；

则{a_n-1}是首项为a_n-1=8，公比为-

1

3

的等比数列，

进而可得s_n-n=

8[1-(- 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

=6[1-（-

1

3

）ⁿ]，即|S_n-n-6|=6×（-

1

3

）ⁿ；

依题意，|S_n-n-6|＜6×

1

125

即（-

1

3

）ⁿ＜

1

750

，且n∈N^*，

分析可得n＞7；即满足不等式|S_n-n-6|＜

1

750

的最小正整数n是7；

故答案为7．