问题
解答题
| 设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn． （1）已知a1=1，d=2， （ⅰ）求当n∈N*时，
（ⅱ）当n∈N*时，求证：
（2）是否存在实数a1，使得对任意正整数n，关于m的不等式am≥n的最小正整数解为3n-2？若存在，则求a1的取值范围；若不存在，则说明理由． |
答案
（1）（ⅰ）∵a1=1，d=2，
∴Sn=na1+
=n2，n(n-1)d 2
=n+Sn+64 n
≥264 n
=16，n× 64 n
当且仅当n=
，即n=8时，上式取等号．故64 n
的最小值是16．（4分）Sn+64 n
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知Sn=n2，当n∈N*时，
=n+1 SnSn+2
=n+1 n2(n+2)2
[1 4
-1 n2
]，（6分）1 (n+2)2
+2 S1S3
+…+3 S2S4
=n+1 SnSn+2
(1 4
-1 12
)+1 32
(1 4
-1 22
)+…+1 42
[1 4
-1 n2
]=1 (n+2)2
(1 4
+1 12
+…+1 22
)-1 n2
[1 4
+1 32
+…+1 52
+1 (n+1)2
]=1 (n+2)2
[1 4
+1 12
-1 22
-1 (n+1)2
]，（8分）1 (n+2)2
∵
+1 (n+1)2
＞0，∴1 (n+2)2
+2 S1S3
+…+3 S2S4
＜n+1 SnSn+2
(1 4
+1 12
)＜1 22
．（9分）5 16
（2）假设对∀n∈N*，关于m的不等式am=a1+（m-1）d≥n的最小正整数解为cn=3n-2，
当n=1时，a1+（c1-1）d=a1≥1；（10分）
当n≥2时，恒有
，即a1+(cn-1)d≥n a1+(cn-2)d＜n
，(3d-1)n+(a1-3d)≥0 (3d-1)n+(a1-4d)＜0
从而
⇔d=3d-1≥0 (3d-1)×2+(a1-3d)≥0 3d-1≤0 (3d-1)×2+(a1-4d)＜0
，1≤a1＜1 3
．（12分）4 3
当d=
，1≤a1＜1 3
时，对∀n∈N*，且n≥2时，当正整数m＜cn时，4 3
有a1+
＜a1+m-1 3
且a1+cn-1 3
＞n．（13分）cn-1 3
所以存在这样的实数a1符合题意且a1的取值范围是[1，
)．4 3