问题
解答题
| 已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan=Sn+2n（n-1）（n∈N*）． （I）求数列an的通项公式； （II）设Tn=
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答案
（I）因为Sn=nan-2（n-1）n，
所以当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-2（n-2）（n-1）．an=Sn-Sn-1=nan-2（n-1）n-（n-1）an-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即an-an-1=4（4分）
所以数列an是首项a1=1，公差d=4的等差数列，且an=1+（n-1）4=4n-3（n∈N*）．（6分）
（II）因为
=an+1 2n+1
=4n-3+1 2n+1
，2n-1 2n
所以Tn=
+a1+1 22
+…+a2+1 23
=an+1 2n+1
+1 2
+3 22
++5 23
．①（8分）2n-1 2n
Tn=1 2
+1 22
+3 23
+…+5 24
+2n-3 2n
．②..（10分）2n-1 2n+1
①-②得
Tn=1 2
+1 2
+1 2
++1 22
-1 2n-1
=2n-1 2n+1
+1 2
-
[1-(1 2
)n-1]1 2 1- 1 2
=2n-1 2n+1
-3 2
-1 2n-1
=2n-1 2n+1
-3 2
．2n+3 2n+1
所以Tn=3-
（12分）2n+3 2n