已知函数y=x2-x+nx2+1（n∈N*，y≠1）的最小值为an，最大值为bn

问题解答题

已知函数y=

x2-x+n

x2+1

（n∈N^*，y≠1）的最小值为a_n，最大值为b_n，且c_n=4（a_nb_n-

）．数列{c_n}的前n项和为S_n．
（1）请用判别式法求a₁和b₁；
（2）求数列{c_n}的通项公式c_n；
（3）若{d_n}为等差数列，且d_n=

n+c

（c为非零常数），设f（n）=

(n+36)dn+1

（n∈N^*），求f（n）的最大值．

答案

（1）n=1时，y=

x2-x+1

x2+1

，则（y-1）x²+x+y-1=0

∵x∈R，y≠1，

∴△=1-4（y-1）（y-1）≥0，即4y²-8y+3≤0

∴

≤y≤

∴a₁=

，b₁=

；

（2）由y=

x2-x+n

x2+1

，可得（y-1）x²+x+y-n=0

∵x∈R，y≠1，

∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0

由题意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，

∴a_n•b_n=

4n-1

∴c_n=4（a_nb_n-

）=4n-3；

（3）∵c_n=4n-3，∴S_n=2n²-n，∴d_n=

n+c

2n2-n

n+c

∵{d_n}为等差数列，∴2d₂=d₁+d₃，

∴2c²+c=0，∴c=0（舍去）或c=-

，∴d_n=

2n2-n

=2n

∴f（n）=

(n+36)dn+1

n2+37n+36

+37

≤

+37

当且仅当n=

，即n=6时，取等号，∴f（n）的最大值为

．