问题
解答题
（I）给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，则称数列{cn}是“M类数列”．
（i）若an=3•2n，n∈N*，数列{an}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（ii）若数列{bn}的前n项和为Sn=n2+n，证明数列{bn}是“M类数列”．
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=2n(n∈N*)，求数列{an}前2013项的和．
答案
（Ⅰ）（i）∵an=3•2n，n∈N*，
∴an+1=3×2n+1=2×(3×2n)=2×an=2an+0，
∴p=2，q=0
∴数列{an}是“M”数列．
（ii）当n=1时，b1=S1=12+1=2．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．
上式对于n=1时也成立，
∴bn=2n（n∈N*）．
∴bn+1=2（n+1）=2n+2=bn+2．
∴数列{bn}是“M”数列，且p=1，q=2．
（Ⅱ）∵an+an+1=2n（n∈N*），∴a2+a3=22，a4+a5=24，…a2012+a2013=22012．
S2013=a1+a2+a3+…+a2013=2+22+24+…+22012=2+
=4×(41006-1) 4-1
．22014+2 3
故数列{an}前2013项的和S2013=
．22014+2 3
