（1）∵S_n=n²，∴当n=1时，a₁=S₁=1；

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1

a₁=1满足上式，∴a_n=2n-1；

（2）由b_n=

1

(an+1)(an+1+1)

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)

∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．

（3）T_n+1-T_n=

n+1

4(n+2)

-

n

4(n+1)

=

1

4(n+1)(n+2)

＞0，∴{T_n}单调递增，∴T_n≥T₁=

1

8

∵T_n=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，∴

1

8

≤T_n＜

1

4

使得

m-2

4

＜T_n＜

m

5

对一切n∈N^*恒成立，则

1 4 ≤ m 5 m-2 4 ＜ 1 8

∴

5

4

≤m＜

5

2

∵m是自然数，∴m=2．