已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225．数列{bn}是

问题解答题

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．数列{b_n}是等比数列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128（其中n=1，2，3，…）．

（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；（II）记c_n=a_nb_n，求数列c_n前n项和T_n．

答案

（I）公差为d，

则

a1+2d=5

15a1+15×7d=225

，

∴

a1=1

d=2

故a_n=2n-1（n=1，2，3，…）．

设等比数列b_n的公比为q，则

b3=8

•b3q2=128

，∴b₃=8，q=2

∴b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．

（II）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ∵T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ

2T_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹

作差：-T_n=2+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹

=2+

23(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1

=2+2³（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-2ⁿ⁺²n+2ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹（2n-3）

∴T_N=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．