已知{an}为等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和

问题解答题

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₅=256；S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=2，5S₅=2S₈．

（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，求T_n．

答案

（1）设{a_n}的公比为q，由a₅=a₁q⁴得q=4，所以a_n=4^n-1．

设{b_n}的公差为d，由5S₅=2S₈得5（5b₁+10d）=2（8b₁+28d），d=

a1=

×2=3，

所以b_n=b₁+（n-1）d=3n-1．

（2）T_n=1•2+4•5+4²•8++4^n-1（3n-1），①

4T_n=4•2+4²•5+4³•8++4ⁿ（3n-1），②

②-①得：3T_n=-2-3（4+4²++4ⁿ）+4ⁿ（3n-1）

=-2+4（1-4^n-1）+4ⁿ（3n-1）

=2+（3n-2）•4ⁿ

∴T_n=（n-

）4ⁿ+