问题
解答题
已知数列{an}的各项均为正数，且满足a2=5，an+1=an2-2nan+2，(n∈N*)．
（1）推测{an}的通项公式；
（2）若bn=2n-1，令cn=an+bn，求数列cn的前n项和Tn．
答案
（1）由a2=5，an+1=an2-2nan+2，an＞0（n∈N*）知：
a2=a12-2a1+2，故 a1=3，
a3=a22-4a2+2=7，
推测an=2n+1．（n∈N*）①；
（2）由（1）知，cn=an+bn=(2n+1)+2n-1．
Tn=（a1+b1）+（a2+b2）+（a3+b3）+…+（an+bn）
=（a1+a2+a3…+an）+（b1+b2+b3+…+bn）
=[3+5+7+…+（2n+1）]+（1+2+4+…+2n-1）
=
+n[3+(2n+1)] 2 1•(1-2n) 1-2
=（n2+2n）+（2n-1）=2n+n2+2n-1．
所以数列{cn}的前n项和Tn为2n+n2+2n-1．