问题
解答题
| 对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列． （Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由． （Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）判断数列an=
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答案
（Ⅰ）1≤an=2+sinn≤3，
故{an}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=
＜a1(1-qn) 1-q
，a1 1-q
则正数数列{Sn}满足|Sn|＜
，即为有界数列；a1 1-q
当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{an}为无界数列，事实上an=
+1 3
+1 5
+…+1 7
＞1 2n-1
+1 4
+1 6
+…+1 8 1 2n
∴2an＞
+1 3
+1 4
+1 5
+…+1 6
+1 2n-1 1 2n
∴2a2n＞
+1 3
+1 4
+1 5
+…+1 6
=(1 2•2n
+1 3
)+(1 4
+1 5
+1 6
+1 7
)+(1 8
+…+1 9
)+…+(1 16
+1 2n+1
+…+1 2n+2
)＞1 2n+2n
×2+1 4
×4+1 8
×8+…+1 16
×2n=1 2n×2 n 2
∴a2n＞n 4
故当n无限增大时an也无限增大，
所以{an}无界…（12分）．
