问题
解答题
已知数列{an}中an=n+1，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
（1）求bn的表达式； （2）若cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n都cn≤ck成立？证明你的结论． |
答案
（1）由 nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
)n-1+(9 10
)n-2+…+9 10
+1，9 10
得，（n-1）b1+（n-2）b2+…+bn-1=(
)n-2+…+9 10
+1两式相减，9 10
得 b1+b2+…+bn=(
)n-1=Sn9 10
∴当n=1时，b1=S1=1
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=-
(1 10
)n-29 10
即bn=1… …当n=1时 -
(1 10
)n-2…当n≥2时9 10
（2）由（1）得 cn=-anbn=-2… …当n=1时
(n+1 10
)n-2…当n≥2时9 10
设存在自然数k，使对n∈N，cn≤ck恒成立
当n=1时，c2-c1=
＞0⇒c2＞c123 10
当n≥2时，cn+1-cn=(
)n-2•9 10
，8-n 100
∴当n＜8时，cn+1＞cn
当n=8时，cn+1=cn，当n＞8时，cn+1＜cn
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有c1＜c2＜…＜c8=c9＞c10＞c11＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都cn≤ck成立