问题
解答题
| 已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-nan-1（n≥2，n∈N*）． （I）探究数列{
（II）求数列{nan}的前n项和Sn． |
答案
（I）∵bn+1=2bn-2n ，∴bn+1-2bn =-2n ，∴
- bn+1 2n+1
=-bn 2n
．1 2
∴数列{
}构成以bn 2n
为首项，以-1 2
为公差的等差数列，∴1 2
=bn 2n
-1 2
（n-1），1 2
∴bn=2n(1-
）．n 2
（II）∵bn=an-nan-1，∴an-2n=nan-1-n2n-1=n（ an-1-2n-1 ），
∴
=n，an- 2n an-1-2n-1
∴
=an- 2n a1-2
•an- 2n an-1-2n-1
•an-1-2n-1 an-2-2n-2
…an-2-2n-2 an-3-2n-3 a2-22 a1-2
=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a1=3，故 an=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2n，
nan=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2n=（n+1）!-n!+n 2n，
∴sn=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×22+…+n2n ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×22+…+n2n ）．
令Tn=1×2+2×22+…+n2n，①则 2Tn=1×22+2×23+…+n 2n+1，②
①-②可得，-Tn=2+22+23+…-n 2n+1，∴Tn=（n-1）2n+1+2，
∴sn=（n+1）!+（n-1）2n+1+1．