问题 解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1,数列{bn}满足:bn=
2
an+1
,前n项和为Tn,设Cn=T2n+1-Tn.   
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)是否存在自然数k,当n≥k时,总有Cn
16
21
成立,若存在,求自然数k的最小值.若不存在,说明理由.
答案

(1)a1=2,当n>1时,an=Sn-Sn-1=2n-1

bn=

2
3
,(n=1)
1
n
,(n>1)

(2)Cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1

Cn+1-Cn=

1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+1
=
1
2n+3
-
1
2n+2
<0

∴数列{Cn}是单调递减数列.

由(2)知:Cn<Cn-1<…<C3<C2<C1

当n=1时,C1=

1
2
+
1
3
=
5
6
16
21

当n=2时,C2=

1
3
+
1
4
+
1
5
=
47
60
16
21

当n=3时,C3=

1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
=
319
420
320
420
=
16
21

当n≥3时,CnC3

16
21

故,kmin=3.

单项选择题
单项选择题 A1/A2型题