设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n，

问题解答题

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对于所有的正整数n，有2

=an+1．
（I）求a₁，a₂的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）令b₁=1，b_2k=a_2k-1+（-1）^k，b_2k+1=a_2k+3^k（k=1，2，3，…），求数列{b_n}的前2n+1项和T_2n+1．

答案

（I）当n=1时，2

=a1+1，

∴(

-1)2=0，a₁=1

当n=2时，2

1+a2

=a2+1，

∴

a2+1

=2，a₂=3．

（II）∵2

=an+1，

∴4S_n=（a_n+1）²4S_n-1=（a_n-1+1）²，相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0

∵{a_n}是正数组成的数列，

∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1．

（Ⅲ）T_2n+1=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）++（a_2n+3ⁿ）

=1+S_2n+（3+3²++3ⁿ）+[（-1）¹+（-1）²++（-1）ⁿ]

=1+(2n)2+

3(1-3n)

1-3

(-1)(1-(-1)n)

1-(-1)

3n+1-2+8n2+(-1)n

．