（1）当 n≥2时，Sn=

1

4

(an+1)2，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，

两式相减，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于数列{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以数列{a_n}是首项a₁=1，d=2的等差数列，a_n=2n-1；

（2）bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

++

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

++

2n-1

2n+1

相减化简得Tn=3-

2n+3

2n

（3）∵bn+1-bn=

3-2n

2n+1

当n=1，b₂＞b₁，当n≥2，b_n+1＜b_n，故当n=2时，b₂取到最大值

3

4

．

又bn≤

1

4

m2-m-

1

2

对一切正整数n恒成立，即

3

4

≤

1

4

m2-m-

1

2

解得m≤-1或m≥5