问题
解答题
在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…简记为{An}，若由bn=
（1）试判断：A1（1，1），A2(2，
（2）若{An}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：aq+am＞an+ap． |
答案
（1）∵An(n，
)，An+1(n+1，1 2n-1
)，1 2n
∴
=(1，-AnAn+1
)，1 2n
又∵
=(0，1)，∴bn=j
•AnAn+1
= -j
，1 2n
∴bn+1=-
，bn=-1 2n+1
，1 2n
显然bn+1＞bn，∴{An}为“和谐点列”．
（2）证明：∵An（n，an），An+1（n+1，an+1），
∴
=(1，an+1-an)．又因为AnAn+1
=(0，1)，j
∴bn=an+1-an．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴aq-qp=aq-qq-1+aq-1-aq-2+…+ap+1-ap=bq-1+bq-2+…+bp．
∵{An}为“和谐点列”∴bn+1＞bn．
∴bq-1+bq-2+…+bm=（q-p）bp．
即aq-ap≥（q-p）bp．
同理可证：an-am=bn-1+bn-2+…+bm≤（n-m）bn-1．
∵bp＞bn-1，n-m=q-p．
∴（q-p）bq＞（n-m）bn-1．
∴aq-ap＞an-am．
∴aq+am＞an+ap．