设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N*）．（I）求数列{a

问题解答题

设数列 {a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {na_n}的前n项和为T_n，对任意 n∈N^*，比较

与 S_n的大小．

答案

（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，∴

an+1

又S₁=2a₁-1∴a₁=2a₁-1，a₁=1∴a_n=2^n-1（5分）

（Ⅱ）T_n=1•2ⁿ+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①

2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②

①-②得-T=1+2+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，

则T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．（9分）

∴

-Sn=

n•2n-2n+1

-(2n-1)=( n-3)•2n-1+

∴当n=1时，

-S1 =-

＜0，当n=2时，

-S2=-

＜0

即当n=1或2时，

-Sn＜0，

＜Sn

当n＞2时，

-Sn＞0，

＞Sn（13分）