设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=12+log2x1-x的图象

问题解答题

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

+log2

1-x

的图象上满足下面条件的任意两点．若

(

)，则点M的横坐标为

．
（1）求证：M点的纵坐标为定植；
（2）若Sn=f(

)+f(

)+…+f(

n-1

)，求S_n（n≥2，n∈N*）．
（3）已知an=

(n=1)

(Sn+1)(Sn+1+1)

(n≥2)

，（其中n∈N^*，又知T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜（15）λ（S_n+1+1）对于一切n∈N^*．都成立，试求λ的取值范围．

答案

（1）∵

(

)∴M是AB中点，设M为（x，y）

由

(x1+x2)=x=

，得x₁+x₂=1，∴x₁=1-x₂或x₂=1-x_{1
∴y=
1
2
(y1+y2)
=
1
2
[f(x1)+f(x2)]
=
1
2
(1
2
+log2x
1-x1
+1
2
+log2x2
1-x2
)
=
1
2
(1+log2x1
1-x1
+log2x2
1-x2
)
=
1
2
(1+log2[x1
1-x1
•x2
1-x2
]
=
1
2
(1+log2x1
x2
•x2
x1
)=1
2
∴M点的纵坐标的定值为
1
2
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，
则f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
Sn=f(
1
n
)+f(2
n
)++f(n-1
n
)，Sn=f(n-1
n
)+f(n-2
n
)++f(1
n
)，
上述两式相加，得
2Sn=[f(
1
n
)+f(n-1
n
)]+[f(2
n
)+f(n-2
n
)]++[f(n-1
n
)+f(1
n
)]
=1+1++1
∴Sn=
n-1
2
(n≥2，n∈N*)
（3）当n=1时，Tn=a1=
2
3
，Sn+1+1=S2+1=3
2，
由T_n＜λ（S_n+1+1），得
3
2
＜3
2
λ，得λ＞4
9．
当n≥2时，an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
=4
(n+1)(n+2)
=4(1
n+1
-1
n+2
)
∴Tn=a1+a2++an=
2
3
+4(1
3
-1
n+2
)=2n
n+2
由T_n＜λ（S_n+1+1），得
2n
n+2
＜λ＜n+2
n
，
∴λ＞
4n
(n+2)2
=4n
n2+4n+4
=4
n+4
n
+4
，
∵
4
n+4
n
+4
≤4
4+4
=1
2
，（当且仅当n=2时，=成立）∴λ＞1
2．
综上所述，若对一切n∈N^*．都有T_n＜λ（S_n+1+1）成立，由于
4
9
＜1
2
，所以λ＞1
2}