数列的通项a_n=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

（

1

n+1

-

1

n+3

），

∴

1

2•4

+

1

3•5

+

1

4•6

+…+

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

）

=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)，

故答案为：

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)．