已知数列{an}满足a1=1，a2=2，对于任意的正整数n都有an-an+1≠1

问题填空题

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对于任意的正整数n都有a_n-a_n+1≠1，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，则S₂₀₁₂=______．

答案

依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，

a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，

两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，

∵a_n+1a_n+2≠1，

∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，

∴数列{a_n}是以3为周期的数列，

∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3

∴S₂₀₁₂=670×（1+2+3）+1+2=4023

故答案为：4023．