对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大

问题填空题

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值=______．

答案

当[log₂x]=n，n∈N时，2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹，若x是正整数，则x共有2ⁿ项∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10

=0+2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9+10．令S=2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9①则2S=2²×1+2³×2+2⁴×3+2⁴×4+…2⁹×8+2¹⁰×9②

①-②得-S=2¹+2²+2³+2⁴+…+2⁹-2¹⁰×9=-2（1-2⁹）-2¹⁰×9=-8194．

∴原式8194+10=8204

故答案为：8204．